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[电子书]2018年注册土木工程师道路工程公共基础考试考试讲义复习笔记考试题库

2018年注册土木工程师道路工程公共基础考试考试讲义复习笔记考试题库
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作者:冲刺线教育
出版社:冲刺宝典
版次:2 资料更新时间:2018-01-07 14:52
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第一章 高等数学

【历年考点一览表】

题号  年份 考点 2011 2012 2013 2014
1.1 空间 解析几何 向量代数     1  
平面与直线 1 18 15 9
曲面及其方程 2 16、17   2
1.2 微分学 函数极限及其连续性 3、4 1、2 5、6、13 1、3
一元函数微分学 5、6 3、4、8、9 2、3、4、7 4、5、8
多元函数微分学 7   11、18 15、18
1.3 积分学 一元函数积分学 8、9、10 5、6、15 8 6、11
多元函数积分学   7 9 16
对弧长的曲线积分 11   16  
对坐标的曲线积分 12     14
1.4 无穷 级数 常数项级数 13 10 12 7、12
幂级数及其敛散性 14 11 17 17
傅里叶级数        
1.5 常微 分方程 常微分方程及其解 15、16 14 10 10
二阶常系数齐次线性微分方程   12、13 14 13
1.6 线性 代数 行列式        
矩阵 17、18   21 19、20
向量   20 19  
线性方程组 20   20 21
矩阵的特征值与特征向量   19    
二次型 19 21   20
1.7 概率论与数理统计 随机事件及其概率 21、22 22 22 22
随机变量及其概率分布     23  
随机变量的数字特征 23、24 23   23
数理统计的基本概念及抽样分布     24 24
参数估计        
假设检验   24    

说明:若上表中有重复题号,源于部分题目涉及多个考点。

【考点详解】

第一节 空间解析几何

一、向量代数

1.向量的概念

向量是指空间具有一定长度和方向的线段。以A为起点,B为终点的向量记作HWOCRTEMP_ROC540或简记作HWOCRTEMP_ROC550。向量HWOCRTEMP_ROC560的大小记作HWOCRTEMP_ROC570,又称向量HWOCRTEMP_ROC580的模。模等于1的向量称为单位向量.模等于零的向量称为零向量,记作0或。零向量的起点和终点重合,它的方向可以看做是任意的。

两向量HWOCRTEMP_ROC580HWOCRTEMP_ROC600若满足:HWOCRTEMP_ROC610HWOCRTEMP_ROC620指向同一侧,则称HWOCRTEMP_ROC630HWOCRTEMP_ROC640方向一致的单位向量HWOCRTEMP_ROC650

2.向量的运算

(1)两向量的和

HWOCRTEMP_ROC660为边的平行四边形的对角线(见图1-1-1)所表示的向量HWOCRTEMP_ROC670称向量HWOCRTEMP_ROC680的和,记作

HWOCRTEMP_ROC690      (1-1-1)

HWOCRTEMP_ROC700

图1-1-1

n个向量HWOCRTEMP_ROC710的和即为:

HWOCRTEMP_ROC810    (1-1-2)

向量的加法符合交换律和结合律,即:

HWOCRTEMP_ROC3480

(2)两向量的差

HWOCRTEMP_ROC820为一向量,与HWOCRTEMP_ROC820的模相同,而方向相反的向量称为HWOCRTEMP_ROC820的负向量,记作HWOCRTEMP_ROC850,规定两个向量HWOCRTEMP_ROC820HWOCRTEMP_ROC870的差为

HWOCRTEMP_ROC880    (1-1-3)

(3)向量与数的乘法

设λ是一个数,向量HWOCRTEMP_ROC820HWOCRTEMP_ROC910的乘积HWOCRTEMP_ROC920规定为:

①当λ>0时,HWOCRTEMP_ROC920表示一个向量,它的方向与HWOCRTEMP_ROC820的方向相同,它的模等于HWOCRTEMP_ROC960的λ倍,即HWOCRTEMP_ROC980

②当λ=0时,HWOCRTEMP_ROC920是零向量,即HWOCRTEMP_ROC1010

③当λ<0时,HWOCRTEMP_ROC920表示一个向量,它的方向与HWOCRTEMP_ROC1040的方向相反,模等于HWOCRTEMP_ROC1050HWOCRTEMP_ROC1060倍,即HWOCRTEMP_ROC1070

(4)两向量的数量积

两向量的数量积为一数量,表示为

HWOCRTEMP_ROC1080   (1-1-4)

(5)两向量的向量积

两向量的向量积为一向量,记作HWOCRTEMP_ROC1090

HWOCRTEMP_ROC1100的几何意义为以HWOCRTEMP_ROC1110为边作出的平行四边形的面积;HWOCRTEMP_ROC1120HWOCRTEMP_ROC1130的正向按右手规则四个手指从HWOCRTEMP_ROC1140以不超过π的角度转向HWOCRTEMP_ROC1150则大拇指的指向即为HWOCRTEMP_ROC1160的方向。

【例题1】已知向量,则等于(  )。[2013年真题]

A.0 

B.6 

C. 

D.

【答案】C查看答案

【解析】向量相乘公式为:,所以乘积的模为:

(6)三个向量的混合积

HWOCRTEMP_ROC1170称为向量HWOCRTEMP_ROC1180的混合积,记作HWOCRTEMP_ROC1190的几何意义表示以HWOCRTEMP_ROC1220为棱的平行六面体的体积。可推出,当向量HWOCRTEMP_ROC1220共面时,混合积HWOCRTEMP_ROC1230HWOCRTEMP_ROC1240HWOCRTEMP_ROC1250

3.向量运算的性质HWOCRTEMP_ROC1260为向量,HWOCRTEMP_ROC1270为数量)(见表1-1-1)

表1-1-1  向量运算的性质

名称 公式
交换律 HWOCRTEMP_ROC1280
结合律 HWOCRTEMP_ROC1290
分配律 HWOCRTEMP_ROC1300 HWOCRTEMP_ROC1300
向量的数量积满足交换律 HWOCRTEMP_ROC1310
向量的向量积不满足交换律 HWOCRTEMP_ROC1320

4.向量在轴上的投影

给定向量HWOCRTEMP_ROC1330及u轴,过A、B点分别向u轴作垂直平面,与u轴交于HWOCRTEMP_ROC1340,则有向线段HWOCRTEMP_ROC1350的值HWOCRTEMP_ROC1360称为HWOCRTEMP_ROC1330在u轴上的投影,记作HWOCRTEMP_ROC1380向量的投影是一个数量。

HWOCRTEMP_ROC1330与u轴的夹角为α,则

HWOCRTEMP_ROC1400

n个向量的和在u轴上的投影为

HWOCRTEMP_ROC1410 (1-1-5)

5.向量的投影表示

HWOCRTEMP_ROC1420的起点A坐标为HWOCRTEMP_ROC1430终点B坐标为HWOCRTEMP_ROC1440

HWOCRTEMP_ROC1450HWOCRTEMP_ROC1460

HWOCRTEMP_ROC1470称为向量HWOCRTEMP_ROC1480在x轴、y轴、z轴上的投影。

HWOCRTEMP_ROC1490依次为与HWOCRTEMP_ROC1500轴正向一致的单位向量,则

HWOCRTEMP_ROC1510 (1-1-6)

HWOCRTEMP_ROC1520 (1-1-7)

式(1-1-6)又称向量HWOCRTEMP_ROC1480按基本单位向量的分解式,式(1-1-7)又称向量HWOCRTEMP_ROC1480的坐标表示式。

6.向量运算的坐标表示式

(1)向量运算的坐标表示式

HWOCRTEMP_ROC1550

HWOCRTEMP_ROC1560

HWOCRTEMP_ROC1570

HWOCRTEMP_ROC1580 (1-1-8)

HWOCRTEMP_ROC1590

HWOCRTEMP_ROC1600

(2)向量的模和方向余弦的坐标表示式:

HWOCRTEMP_ROC1610HWOCRTEMP_ROC1480的方向角,HWOCRTEMP_ROC1630,则

HWOCRTEMP_ROC1640

 HWOCRTEMP_ROC1650    (1-1-9)

HWOCRTEMP_ROC1660

且满足HWOCRTEMP_ROC1670

7.两向量的夹角、平行与垂直坐标表示

HWOCRTEMP_ROC1680

HWOCRTEMP_ROC1690   (1-1-10)

HWOCRTEMP_ROC1700       (1-1-11)

HWOCRTEMP_ROC1720   (1-1-12)

二、平面

1.平面的一般方程

HWOCRTEMP_ROC1730        (1-1-13)

其中,平面法向量HWOCRTEMP_ROC1740

2.平面的点法式方程

过定点HWOCRTEMP_ROC1750,以HWOCRTEMP_ROC1760为法线向量的平面方程为

HWOCRTEMP_ROC1770

称为平面的点法式方程。

3.平面的截距式方程

设a,b,c为平面在三个坐标轴上的截距,平面方程为

HWOCRTEMP_ROC1780        (1-1-14)

称平面的截距式方程。

4.两平面的夹角(通常指锐角)

设两平面方程为

HWOCRTEMP_ROC1790

(1)两平面夹角φ的余弦为

HWOCRTEMP_ROC1810       (1-1-15)

(2)两平面平行的充分必要条件为

HWOCRTEMP_ROC1820       (1-1-16)

(3)两平面垂直的充分必要条件为

HWOCRTEMP_ROC1830      (1-1-17)

5.三平面的交点

设三个平面方程为HWOCRTEMP_ROC1840若系数行列式D≠0,则三平面有唯一交点,交点坐标即方程组的解。

6.点到平面的距离

若平面方程为HWOCRTEMP_ROC1850平面外一点HWOCRTEMP_ROC1860则点M到平面的距离为

HWOCRTEMP_ROC1870 (1-1-18)

7.点到直线的距离

设点HWOCRTEMP_ROC1890是直线L外的一点,HWOCRTEMP_ROC1900是直线L上的任意取定的点,且直线L的方向向量为HWOCRTEMP_ROC1910HWOCRTEMP_ROC1920到直线L的距离为d,

设点HWOCRTEMP_ROC1930HWOCRTEMP_ROC1940

HWOCRTEMP_ROC1950     (1-1-19)

三、空间直线

1.空间直线的一般方程

设空间直线L由两个平面π1和π2的交线给出,设π1和π2的方程分别为HWOCRTEMP_ROC2010HWOCRTEMP_ROC2020HWOCRTEMP_ROC2030则L的方程为

HWOCRTEMP_ROC2040     (1-1-20)

2.空间直线的点向式方程(或对称式方程)与参数方程

(1)设直线L上一点HWOCRTEMP_ROC2050和它的一个方向向量HWOCRTEMP_ROC2060则L的方程为

HWOCRTEMP_ROC2070 (1-1-21)

称为直线的点向式方程(或对称式方程)

(2)设HWOCRTEMP_ROC2090得到空间直线L的参数方程为

HWOCRTEMP_ROC2100    (1-1-22)

3.两直线的夹角(通常指锐角)

(1)设两直线的方程分别为HWOCRTEMP_ROC2120则两直线间夹角的余弦为

HWOCRTEMP_ROC2130  (1-1-23)

(2)两条直线平行的充分必要条件为

HWOCRTEMP_ROC2140  (1-1-24)

(3)两条直线垂直的充分必要条件为

HWOCRTEMP_ROC2150

【例题2】设有直线,则L1与L2的夹角θ等于(  )。[2014年真题]

A. 

B.  

C. 

D.

【答案】B查看答案

【解析】由题意可知,两直线的方向向量分别为:,故

,所以L1与L2的夹角θ=

4.两直线共面(平行或相交)的条件

设两直线的方程分别为

HWOCRTEMP_ROC2160

则它们共面的条件为

HWOCRTEMP_ROC2170  (1-1-25)

5.直线与平面的夹角

(1)设平面的方程为HWOCRTEMP_ROC2180直线L的方程为HWOCRTEMP_ROC2190则直线L和平面π间夹角φ的正弦为

HWOCRTEMP_ROC2210   (1-1-26)

(2)直线与平面平行的条件为

HWOCRTEMP_ROC2220  (1-1-27)

(3)直线与平面垂直的条件为

HWOCRTEMP_ROC2230   (1-1-28)

【例题3】已知直线L:,平面,则(  )[2013年真题]

A.L与垂直相交 

B.L平行于但L不在

C.L与非垂直相交

D.L在

【答案】C查看答案

【解析】直线L的方向向量为(3,-1,2),平面的法向量为(-2,2,-1),,故直线与平面不垂直;又,所以直线与平面不平行。所以直线与平面非垂直相交。直线与平面的交点为()。

6.空间曲线在坐标面的投影曲线方程

(1)设空间曲线C的一般方程为

HWOCRTEMP_ROC2240

空间曲线在坐标面上的投影得到的曲线,称为空间曲线在坐标面上的投影曲线。

(2)空间曲线C在xOy平面上的投影曲线可表示为HWOCRTEMP_ROC2250,其中方程H(x,y)=0,由方程组HWOCRTEMP_ROC2260消去字母z得到。H(x,y)=0又称为曲线C在xOy平面的投影柱面方程,z=0为xOy平面。

同理,消去方程组中变量x或变量y,再分别和x=0或y=0联立,得到曲线C在HWOCRTEMP_ROC2270面或HWOCRTEMP_ROC2280面上的投影曲线方程。

HWOCRTEMP_ROC2290

四、曲面及其方程

1.柱面

(1)定义

指动直线L(柱面的母线)平行于定直线并沿定曲线C(柱面的准线)移动形成的图形

(2)分类

只含x、y而缺z的方程F(

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