[电子书]魏宗舒《概率论与数理统计教程》(第2版)笔记和课后习题(含考研真题)详解

[电子书] 魏宗舒《概率论与数理统计教程》(第2版)笔记和课后习题(含考研真题)详解

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作者:圣才学习网
版次:2
更新时间:2017-08-07
文件大小:43.94 M
页数:270
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目录

内容简介

第1章 事件与概率

1.1 复习笔记

1.2 课后习题详解

1.3 考研真题详解

第2章 离散型随机变量

2.1 复习笔记

2.2 课后习题详解

2.3 考研真题详解

第3章 连续型随机变量

3.1 复习笔记

3.2 课后习题详解

3.3 考研真题详解

第4章 大数定律与中心极限定理

4.1 复习笔记

4.2 课后习题详解

4.3 考研真题详解

第5章 数理统计的基本概念

5.1 复习笔记

5.2 课后习题详解

5.3 考研真题详解

第6章 点估计

6.1 复习笔记

6.2 课后习题详解

6.3 考研真题详解

第7章 假设检验

7.1 复习笔记

7.2 课后习题详解

7.3 考研真题详解

第8章 方差分析和回归分析

8.1 复习笔记

8.2 课后习题详解

8.3 考研真题详解

第9章 Excel在统计分析中的应用

9.1 复习笔记

9.2 课后习题详解

9.3 考研真题详解

内容简介

本书是魏宗舒主编的《概率论与数理统计教程》(第2版)的学习辅导书,主要包括以下内容:

(1)梳理知识脉络,浓缩学科精华。本书每章的复习笔记均对该章的重难点进行了整理,并参考了国内名校名师讲授该教材的课堂笔记。因此,本书的内容几乎浓缩了该教材的知识精华。

(2)详解课后习题,巩固重点难点。本书参考大量相关辅导资料,对魏宗舒主编的《概率论与数理统计教程》(第2版)的课后思考题进行了详细的分析和解答,并对相关重要知识点进行了延伸和归纳。

(3)精选考研真题,培养解题思路。本书从历年考研真题中挑选具有代表性的部分,并对之做了详尽的解析。所选考研真题基本涵盖了每章的考点和难点,考生可以据此了解考研真题的命题风格和难易程度,并检验自己的复习效果。

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试读(部分内容)

第1章 事件与概率

1.1 复习笔记

一、随机事件和样本空间

1.基本概念

(1)随机试验

  若试验满足以下条件:

试验可以在相同的情形下重复进行;

试验的所有可能结果是明确可知道的,并且不止一个;

每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个,但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果。

就称这样的试验是一个随机试验,为方便起见,也简称为试验。

  (2)基本事件

随机试验的每一个可能的结果,称为基本事件。

(3)样本空间

随机试验的所有的基本事件的集合,称作样本空间,通常用字母Ω表示,集合Ω中的元素,即基本事件,有时也称作样本点,常用字母ω表示。

2.事件间的基本规律

若样本空间Ω已经给定,并且还给定了其中一些事件,如A、B、Ai(i=1,2,……)等等,则有:

(1)如果事件A发生必然导致事件B发生,事件A的样本点都是事件B的样本点,则称事件B包含事件A,并记作说明: HWOCRTEMP_ROC40说明: HWOCRTEMP_ROC50

注意:因为不可能事件说明: HWOCRTEMP_ROC70不含有任何ω,所以对任一事件A,约定说明: HWOCRTEMP_ROC80

(2)如果有说明: HWOCRTEMP_ROC90同时成立,则称事件A与B相等,记作A=B;

(3)“事件A与B中至少有一个发生”,这样的一个事件称作事件A与B的并(或和),并记作说明: HWOCRTEMP_ROC100

(4)“事件A与B同时发生”,这样的事件称作事件A与B的交(或积),记作说明: HWOCRTEMP_ROC130(或AB);

(5)“事件A发生而B不发生”,这样的事件称为事件A与B的差,记作A-B;

(6)若事件A与B不能同时发生,也就是说AB是一个不可能事件,即说明: HWOCRTEMP_ROC200,则称事件A与B互不相容;

(7)若A是一个事件,令说明: HWOCRTEMP_ROC230,称说明: HWOCRTEMP_ROC240是A的对立事件或逆事件。在一次试验中, A与说明: HWOCRTEMP_ROC260二者只能发生其中之一,因而有

说明: HWOCRTEMP_ROC270

说明: HWOCRTEMP_ROC280

(8)若有n个事件:说明: HWOCRTEMP_ROC300,则“说明: HWOCRTEMP_ROC310中至少发生其中的一个”这样的事件称作说明: HWOCRTEMP_ROC320的并,并记作说明: HWOCRTEMP_ROC330说明: HWOCRTEMP_ROC340说明: HWOCRTEMP_ROC350;若“说明: HWOCRTEMP_ROC360同时发生”,这样的事件称作说明: HWOCRTEMP_ROC370的交,记作说明: HWOCRTEMP_ROC380说明: HWOCRTEMP_ROC390

3.事件的运算满足下述规则:

(1)交换律:说明: temppic

(2)结合律:说明: temppic

(3)分配律:说明: temppic

(4)德摩根(DeMorgan)定理(对偶原则):

说明: temppic

4.事件域

说明: HWOCRTEMP_ROC1200构成一个域,我们称为事件域,记作说明: HWOCRTEMP_ROC1210。显然,事件域关于交、并、补、差运算是封闭的,事件域应满足下述要求:

(1)说明: HWOCRTEMP_ROC1220

(2)若说明: HWOCRTEMP_ROC1230说明: HWOCRTEMP_ROC1240

(3)若说明: HWOCRTEMP_ROC1250,则说明: HWOCRTEMP_ROC1260

显然说明: HWOCRTEMP_ROC1270是一个布尔代数。

二、概率和频率

1.基本概念

(1)概率

随机事件A发生可能性大小的度量(数值),称为A发生的概率,记作说明: temppic

说明: HWOCRTEMP_ROC1410

(2)频率

如果随机事件A在n次反复试验中发生了说明: HWOCRTEMP_ROC1400次,称为A的频率。

2.频率的性质

(1)非负性:即说明: HWOCRTEMP_ROC1420

(2)规范性:即若Ω是必然事件,则说明: HWOCRTEMP_ROC1430

(3)有限可加性:即若A、B互不相容(即说明: HWOCRTEMP_ROC1440),则

说明: HWOCRTEMP_ROC1450

(4)不可能事件的频率为零,即说明: HWOCRTEMP_ROC1530

(5)若说明: HWOCRTEMP_ROC1540,则说明: HWOCRTEMP_ROC1550,由此还可推得对任一事件A,有说明: HWOCRTEMP_ROC1560

(6)对有限个两两互不相容的事件,频率具有可加性,即若说明: HWOCRTEMP_ROC1570,则

说明: HWOCRTEMP_ROC1580

3.布尔代数说明: HWOCRTEMP_ROC1600的性质

(1)非负生:说明: HWOCRTEMP_ROC1620

(2)规范性:说明: HWOCRTEMP_ROC1630

(3)有限可加性:若说明: HWOCRTEMP_ROC1640说明: HWOCRTEMP_ROC1650

说明: HWOCRTEMP_ROC1660

三、古典概型

1.古典概型的定义

(1)样本空间的元素(即基本事件)只有有限个,不妨设为n个,并记它们为说明: HWOCRTEMP_ROC1720

(2)每个基本事件出现的可能性是相等的,即有

说明: HWOCRTEMP_ROC1730

称这种数学模型为古典概型。

2.古典概型的相关结论

对上述的古典概型,它的样本空间说明: HWOCRTEMP_ROC1740,事件域说明: HWOCRTEMP_ROC1750为Ω的所有子集的全体,连同说明: HWOCRTEMP_ROC1760在内,说明: HWOCRTEMP_ROC1770中含有说明: HWOCRTEMP_ROC1780个事件,并且由概率的有限可加性知:

说明: HWOCRTEMP_ROC1790

于是

说明: HWOCRTEMP_ROC1800

对任意一个随机事件说明: HWOCRTEMP_ROC1810如果A是k个基本事件的和,即

说明: HWOCRTEMP_ROC1820

说明: HWOCRTEMP_ROC1830

四、概率的公理化定义及概率的性质

1.概率的公理化定义

在随机试验中,设说明: temppic为一个样本空间,说明: HWOCRTEMP_ROC1770说明: temppic的子集组成的一个事件域.对任一事件说明: temppic说明: HWOCRTEMP_ROC1770,定义一个实数说明: temppic,满足以下条件:

(1)非负性:若说明: temppic说明: HWOCRTEMP_ROC1770,则说明: temppic

(2)正则性:说明: HWOCRTEMP_ROC3060

(3)可列可加性:若说明: temppic互不相容,则

说明: temppic

则称说明: temppic为事件A的概率,称三元素说明: temppic说明: HWOCRTEMP_ROC1770说明: temppic为概率空间。

2.确定概率的几何方法

(1)如果一个随机现象的样本空间说明: temppic充满某个区域,其度量(长度、面积或体积等)大小可用说明: temppic表示。

(2)任意一点落在度量相同的子区域内是等可能的,譬如在样本空间说明: temppic中有一单位正方形A和直角边为1与2的直角三角形B,而点落在区域A和区域B是等可能的,因为这两个区域面积相等。

(3)若事件A为n中的某个子区域,且其度量大小可用说明: temppic表示,则事件A的概率为

说明: temppic

3.说明: HWOCRTEMP_ROC2940

(1)说明: HWOCRTEMP_ROC2940概念

说明: HWOCRTEMP_ROC2890

说明: HWOCRTEMP_ROC2900说明: HWOCRTEMP_ROC2910

说明: HWOCRTEMP_ROC2920说明: HWOCRTEMP_ROC2930

对满足上述三个性质的集合类,称作是一个说明: HWOCRTEMP_ROC2940(或说明: HWOCRTEMP_ROC2950)。所以事件域应该是一个σ-代数,一个σ-代数必定是一个布尔代数。

(2)σ-代数说明: HWOCRTEMP_ROC3030上有定义的概率P具有的性质

非负性:说明: HWOCRTEMP_ROC3040说明: HWOCRTEMP_ROC3050

规范性:说明: HWOCRTEMP_ROC3060

可列可加性:若说明: HWOCRTEMP_ROC3070说明: HWOCRTEMP_ROC3080说明: HWOCRTEMP_ROC3090,则

说明: HWOCRTEMP_ROC3100

4.概率的其它重要性质

(1)不可能事件的概率为0,即说明: HWOCRTEMP_ROC3190

(2)概率具有有限可加性,即若说明: HWOCRTEMP_ROC3230,则

说明: HWOCRTEMP_ROC3240

(3)对任一随机事件A,有说明: HWOCRTEMP_ROC3280

(4)若说明: HWOCRTEMP_ROC3310,则说明: HWOCRTEMP_ROC3320

(5)对任意的两个事件A、B,有P(A-B)=P(A)—P(AB);

(6)若A说明: temppicB,则P(A)≥P(B);

(7)对任意的两个事件A、B,有P(A∪B)=P(A)+P(B)—P(AB);

(8)P(A∪B)≤P(A)+P(B)。

5.概率的连续性

(1)定义:对于说明: HWOCRTEMP_ROC200上的集合函数P,若对说明: HWOCRTEMP_ROC210中的任一单调不减的集合序列{An},有

说明: temppic

则称集合函数P在说明: HWOCRTEMP_ROC230上是下连续的,其中

说明: HWOCRTEMP_ROC240

(2)定理:若P是说明: HWOCRTEMP_ROC250上非负的、规范的集函数,则P具有可列可加性的充要条件是:

P是有限可加的;

P在说明: HWOCRTEMP_ROC260上是下连续的。

五、条件概率、全概率公式和贝叶斯公式

  1.条件概率

(1)定义:若说明: HWOCRTEMP_ROC370是一个概率空间,说明: HWOCRTEMP_ROC380则对任意的说明: HWOCRTEMP_ROC390

说明: temppic

为在已知事件B发生的条件下,事件A发生的条件概率。

由此可知,对任意两个事件A、B,若P(B)>0,则有

P(AB)=P(B)P(A|B)。

(2)条件概率P(·|B)的三个基本性质:

非负性:对任意的说明: HWOCRTEMP_ROC1380

规范性:P(Ω|B)=1;

可列可加性:对任意的一列两两互不相容的事件说明: temppic(i=1,2…),有

说明: temppic

2.全概率公式

设B1,B2,…是一列互不相容的事件,且有

说明: HWOCRTEMP_ROC530

则对任一事件A,有

说明: temppic

3.贝叶斯公式

若B1,B2,…为一列互不相容的事件,且

说明: HWOCRTEMP_ROC600

则对任一事件A,有

说明: HWOCRTEMP_ROC610

六、独立性

1.两个事件的独立性

对任意的两个事件A、B,若

P(AB)=P(A)P(B)

成立,则称事件A、B是相互独立的,简称为独立的。

2.多个事件的独立性

(1)定义:设A,B,C是三个事件,如果有

说明: temppic

则称A,B,C两两独立。若还有

说明: temppic

则称A,B,C相互独立。

(2)定义:设有n个事件说明: temppic,对任意的说明: temppic,如果以下等式均成立

说明: temppic

则称此n个事件说明: temppic相互独立。

七、伯努利概型

如果试验E只有两个可能的结果:A及说明: HWOCRTEMP_ROC960,并且P(A)=p,说明: HWOCRTEMP_ROC970(其中0<p<1),把E独立地重复n次的试验就构成了一个试验,这个试验称作n重伯努利(Bernoulli)试验,有时简称为伯努利试验或伯努利概型,并记作Bn

一个伯努利试验的结果可以记作:

ω=(ω1,ω2,…,ωn

其中的ωi(1≤i≤n)的全体就是这个伯努利试验的样本空间Ω,对于ω=(ω1,ω2,…,ωn)∈Ω,如果ωi(1≤i≤n)中有k个为A,则必有n-k个为说明: HWOCRTEMP_ROC990,于是由独立性即得:

说明: HWOCRTEMP_ROC1000

如果要求“n重伯努利试验中事件B出现k次”这一事件的概率为:

说明: HWOCRTEMP_ROC1040

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